|
school3000
|
"Школа третьего тысячелетия"
|
XXX Всероссийская математическая олимпиада школьников, 2004 год - III этап
8 класс
Задача 1.
Даны действительные числа x, y, z. Докажите, что одно из чисел
x2+2xy+z2,
y2+2yz+x2,
z2+2zx+y2
неотрицательно.
Задача 2.
Дан клетчатый прямоугольник 1x1000. Двое играют в следующую игру. Ходят по
очереди. За один ход играющий может покрасить клетки какого-то прямоугольника
1x1, 1x3 или 1x5 клеток (два раза красить одну и ту же клетку нельзя).
Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может обеспечить
себе победу независимо от игры соперника?
Задача 3.
Пусть AA1 и CC1 - высоты остроугольного треугольника
ABC. Из точки A1 проведена прямая под углом C к стороне BC,
не параллельная AC, а из точки C1 проведена прямая под углом A
к стороне AB, не параллельная AC. Докажите, что эти прямые пересекаются
на стороне AC.
Задача 4.
Существуют ли такие натуральные числа x и y, что
x2 - y3 = 20032004?
Задача 5.
На перекрестке дорог встретились четыре путника: жители города лжецов
(которые всегда лгут) и города рыцарей (которые всегда говорят правду)
(при этом не все были жителями одного города). Первый сказал:
"Кроме меня, здесь ровно один житель моего города". Второй добавил:
"А из моего города - я один". Третий подтвердил слова второго: "Ты прав".
А четвертый промолчал. Из какого города четвертый?
Задача 6.
О натуральных числах a и b известно, что an+1 делится на bn+1 при любом
натуральном n. Докажите, что a = b.
Задача 7.
Клетчатый прямоугольник разрезали по линиям сетки на шестиклеточные "корытца"
и нечетное число клеточек. Какое наименьшее число отдельных клеточек могло
при этом оказаться?
Шестиклеточное "корытце" выглядит так (его можно переворачивать):
Задача 8.
Докажите, что любой треугольник можно разрезать на три многоугольника,
из которых складывается прямоугольный треугольник (переворачивать части
нельзя).
9 класс >>>
|
Ваши замечания о работе сайта присылайте по адресу
school3000@mail.ru
Сайт основан 28 октября 2000 года
|
|