school3000
"Школа третьего тысячелетия"
Главная
О нас
Программа
Преподаватели
Олимпиады
Собеседование
Игры
Ссылки
Фотоальбом
Гостиная
Песни
Календарь

XXX Всероссийская математическая олимпиада школьников, 2004 год - III этап

8 класс

Задача 1.

Даны действительные числа x, y, z. Докажите, что одно из чисел

x2+2xy+z2,
y2+2yz+x2,
z2+2zx+y2

неотрицательно.

Задача 2.

Дан клетчатый прямоугольник 1x1000. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход играющий может покрасить клетки какого-то прямоугольника 1x1, 1x3 или 1x5 клеток (два раза красить одну и ту же клетку нельзя). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может обеспечить себе победу независимо от игры соперника?

Задача 3.

Пусть AA1 и CC1 - высоты остроугольного треугольника ABC. Из точки A1 проведена прямая под углом C к стороне BC, не параллельная AC, а из точки C1 проведена прямая под углом A к стороне AB, не параллельная AC. Докажите, что эти прямые пересекаются на стороне AC.

Задача 4.

Существуют ли такие натуральные числа x и y, что x2 - y3 = 20032004?

Задача 5.

На перекрестке дорог встретились четыре путника: жители города лжецов (которые всегда лгут) и города рыцарей (которые всегда говорят правду) (при этом не все были жителями одного города). Первый сказал: "Кроме меня, здесь ровно один житель моего города". Второй добавил: "А из моего города - я один". Третий подтвердил слова второго: "Ты прав". А четвертый промолчал. Из какого города четвертый?

Задача 6.

О натуральных числах a и b известно, что an+1 делится на bn+1 при любом натуральном n. Докажите, что a = b.

Задача 7.

Клетчатый прямоугольник разрезали по линиям сетки на шестиклеточные "корытца" и нечетное число клеточек. Какое наименьшее число отдельных клеточек могло при этом оказаться? Шестиклеточное "корытце" выглядит так (его можно переворачивать):
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача 8.

Докажите, что любой треугольник можно разрезать на три многоугольника, из которых складывается прямоугольный треугольник (переворачивать части нельзя).
9 класс >>>
Главная
О нас
Программа
Преподаватели
Олимпиады
Собеседование
Игры
Ссылки
Фотоальбом
Гостиная
Песни
Календарь
наверх

Ваши замечания о работе сайта присылайте по адресу school3000@mail.ru  Сайт основан 28 октября 2000 года