school3000
"Школа третьего тысячелетия"
Главная
О нас
Программа
Преподаватели
Олимпиады
Собеседование
Игры
Ссылки
Фотоальбом
Гостиная
Песни
Календарь

I зимний естественно-научный турнир

I тур

I тур зимнего естественно-научного турнира проходил в форме командного соревнования между школьниками и преподавателями. У команды школьников на 12 задач было 2.5 часа, у преподавателей - полтора. Задачи выбирались случайным образом из опубликованных в Интернете олимпиадных задач городских и областных этапов. Тур закончился победой команды школьников со счетом 13.5 : 7.

к заданиям II тура >>>


Задача 1

Решите уравнение

(x+1)63+(x+1)62(x-1)+(x+1)61(x-1)2+...+(x-1)63=0.

Задача 2

Пусть f(x)=x2+12x+30. Решите уравнение f(f(f(f(f(x)))))=0.

Задача 3

ABCD -- выпуклый четырёхугольник. Окружности, построенные на отрезках AB и CD как на диаметрах, касаются внешним образом в точке M, отличной от точки пересечения диагоналей четырёхугольника. Окружность, проходящая через точки A, M и C, вторично пересекает прямую, соединяющую точку M и середину AB, в точке K, а окружность, проходящая через точки B, M и D, вторично пересекает ту же прямую в точке L. Докажите, что |MK-ML|=|AB-CD|.

Задача 4

Наибольший общий делитель (НОД) натуральных чисел m и n равен 1. Каково наибольшее возможное значение НОД чисел m+2000n и n+2000m?

Задача 5

В строку выписано 23 натуральных числа (не обязательно различных). Докажите, что между ними можно так расставить скобки, знаки сложения и умножения, что значение полученного выражения будет делиться на 2000 нацело.

Задача 6

Найдите все такие пары натуральных чисел x, y, что числа x3+y и y3+x делятся на x2+y2.

Задача 7

Рисунок к задаче 7 Две соединенных легким жестким стержнем бусинки массой m каждая могут скользить без трения по окружности радиуса R. Каждая из них соединена резинкой жесткостью k с неподвижной точкой на окружности. В начальный момент резинки совпадают с диаметрами окружности (см. рис.). После небольшого смещения система приходит в движение. Найдите ускорение точки пересечения резинок в момент, когда они станут нерастянутыми. Длина стержня и длина нерастянутых резинок равна L = R1/2.

Задача 8

Рисунок к задаче 8 Цилиндрическое зеркало радиусом R освещено узким параллельным лучом света. Угол между лучом и нормалью к зеркалу в точке падения равен ф. Определите, на каком расстоянии от точки падения сфокусируется луч.

Задача 9

Рисунок к задаче 9 Теплоизолированный сосуд длиной L разделен пополам тонким теплопроводящим поршнем массой M. При движении поршня на него действует со стороны сосуда постоянная сила трения Fтр. Слева и справа от поршня находится по n молей гелия при температуре T0 (см. рис). Сосуд повернули на 90 градусов, дождались установления в системе равновесия, а затем повернули обратно. Через некоторое время в системе установилась температура T. Найдите равновесное положение поршня в сосуде после того, как сосуд повернули в первый раз. Считать, что во время поворота поршень практически не сдвигается. Ускорение свободного падения g. Теплоемкостью поршня, а также массой газа по сравнению с массой поршня пренебречь.

Задача 10

При пропускани над активированным углем вещества A при 600oC образуется смесь изомеров Б (плотность паров Б по A = 3, плотность паров Б по H2 60). При взаимодействии Б и В в присутствии катализатора образуется смесь изомерных углеводородов Г, причем на образование 1 моль Г расходуется 3 моль В. Определите структурные формулы А - Г, запишите уравнения реакций.

Задача 11

13 г неизвестного металла обработали избытком разбавленного раствора азотной кислоты. К полученному раствору прибавили избыток раствора KOH. При этом выделилось 1.12 л газа (н.у.). Какой металл был растворен?

Задача 12

Как можно найти содержание СО в атмосфере и определить, какая его часть образуется от сжигания ископаемых видов горючего, а какая -- от бактериального разложения веществ биологического происхождения?

Какие дополнительные трудности могут встретиться при определении содержания СО вблизи крупных промышленных обьектов?


к заданиям II тура >>>

Главная
О нас
Программа
Преподаватели
Олимпиады
Собеседование
Игры
Ссылки
Фотоальбом
Гостиная
Песни
Календарь
наверх


Ваши замечания о работе сайта присылайте по адресу school3000@mail.ru  Сайт основан 28 октября 2000 года